Загадочная бутылка Клейна
VIII региональный математический проект «Геометрическая рапсодия».
МБОУ «Красногорбатская средняя общеобразовательная школа»
Команда «Супер-H»
Свойства бутылки Клейна
Она напрямую связана с листом Мёбиуса и, действительно, является загадочной. В математике есть столько неразгаданных тайн и секретов, которые не включены в программу школьного образования. Но на основе этих секретов создано много полезных вещей и изобретений, поэтому изучение этих секретов просто необходимо.
Свойства бутылки Клейна
1. Подобно ленте Мёбиуса, бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым неориентируемым многообразием.
Многообразие — топологическое пространство, которое локально выглядит как «обычное» евклидово пространство. Евклидово пространство является самым простым примером многообразия. Более сложным примером может служить поверхность Земли.
В отличие от ленты Мёбиуса, бутылка Клейна является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края.
2. Бутылка Клейна не может быть вложена (только погружена) в трёхмерное евклидово пространство R3, но вкладывается в R4.
3. Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю. Однако в обычном трехмерном евклидовом пространстве R3 сделать это, не создав самопересечения, невозможно.
К топологическим свойствам бутылки Клейна относятся:
1. Хроматическое число – минимальное число k, такое что множество V вершин графа можно разбить на k непересекающихся классов таких, что вершины в каждом классе независимы, то есть любое ребро графа не соединяет вершины одного и того же класса. Хроматический номер равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим.
Хроматический номер бутылки Клейна – 6, а число Бетти равно 2.
Конечно же, такое не укладывается в голове.
Есть древняя неразрешимая задача. Надо соединить три дома с тремя колодцами, но так, чтобы жители каждого из домов могли ходить по воду в любой колодец и при этом пути их нигде не пересекались.
Сделать это не умудрился никто, но лишь сравнительно недавно математики строго доказали, что задача неразрешима.
Если склеить эту полоску бумаги так, чтобы совпали одинаковые буквы на ее краях, то проблема водоснабжения решается.
А теперь раскрасьте карту путей водовозов — и вот вам шесть цветов, живущих в дружном соседстве.
Но, конечно, как и раньше, надо предполагать, что все события происходят не на бутылке, а внутри неё.
Иными словами, краски должны проникать сквозь бумагу, как чернила сквозь промокашку.
2. Непрерывность. Если вы сравните схему самолётных маршрутов и географическую карту, то убедитесь, что масштаб Аэрофлотом далеко не выдержан – скажем, Свердловск может оказаться на полпути от Москвы до Владивостока. И всё-таки что-то общее между географической картой есть. Москва действительно связана со Свердловском, а Свердловск – с Владивостоком. И поэтому тополог может как угодно деформировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности.
3. Ориентируемость. Конечно, можно было подробно рассказать, что это такое. Но лучше дать определение «от противного»: это то, чего нет у бутылки Клейна! Вообразите, что в ней заключён целый плоский мир, где есть только два измерения, а его обитатели – не симметричные рожицы, не имеющие, как и сама бутылка никакой толщины. Если эти несчастные создания пропутешествуют по всем изгибам бутылки и вернутся в родные пенаты, то в изумлении обнаружат, что превратились в своё собственное зеркальное отображение. Конечно, всё что случится только, если они живут в бутылке, а не на ней.