Загадочная бутылка Клейна

Одним из важнейших научных достижений Феликса Клейна стало первое доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского. Для этого он построил ее интерпретацию в евклидовом пространстве. Клейн построил пример односторонней поверхности – "бутылку Клейна" в 1882 г.

Это блестящий и очень наглядный пример односторонней поверхности. В ней со всей полнотой проявился и талант математика, и дар выдающегося преподавателя. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка).

 

 

Что же представляет собой "бутылка Клейна"?

 

 Мечта средневекового алхимика - это мистический совершенный герметичный сосуд, где внешнее переходит во внутреннее и внутреннее во внешнее, который содержит сам себя и переходит сам в себя, у которого внутреннее и внешнее пародоксально едино ... Всё это чем-то напоминает змею, свернувшуюся в кольцо и заглатывающую свой собственный хвост.

Чтобы построить модель бутылки Клейна, необходимо взять бутылку с двумя отверстиями: в донышке и в стенке, вытянуть горлышко, изогнуть его вниз, и продев его через отверстие в стенке бутылки (для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве это отверстие не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве), присоединить к отверстию на дне бутылки.

 

С точки зрения математики "бутылка Клейна" - это замкнутая (т.е. без края) односторонняя поверхность.

А с точки зрения физики? Как представить себе, на что похожа поразительная "бутылка" в реальности?

 

Оказывается, невозможно построить абсолютно правильную модель этого объекта в нашем трехмерном мире: здесь будет наблюдаться пересечение поверхности, что напрочь отсутствует в четырехмерном измерении.

Вывод: истинная "бутылка Клейна" может существовать только в четырехмерном измерении!

 

Все вышесказанное подводит нас к мысли, что математика таит в себе много нового, неизведанного и интересного.